거물 수학자 요한 베르누이가 낸 문제 (최단강하선, 사이클로이드와 미적분)/EBS 지식

거물 수학자 요한 베르누이가 낸 문제 (최단강하선, 사이클로이드와 미적분)/EBS 지식

 

당최 살아가는데 도움이 되지 않을 것 같은 미적분을 공부하느라 학창 시절 애를 먹었던 기억이 한 번쯤은 있을 것입니다. 오늘은 미적분은 무엇인지를 알기 위해 기초가 되는 개념인 최단강하선과 사이클로이드에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

수학자 요한 베르누이(1667~1748)는 전유럽에 걸친 당대 가장 뛰어나고 저명한 수학자들에게 수학문제 하나를 풀어보라고 편지를 써서 보냅니다. 물론 그는 자신이 낸 수학문제의 답을 알고 있으며, 편지의 끝에 이런 말을 덧붙입니다. 

 

이 문제를 통해 우리는 어린아이와 어른을 가려낼 것이다. 정답을 맞히면 영원한 명성을 얻을 것이다.

 

당시 좋지 않은 교통사정으로 인해 문제가 배달되는 데에만 몇 달의 시간이 걸렸는데, 문제 풀이의 마감기간은 6개월이었습니다.

베르누이가 낸 문제는 간단합니다.

최단강하선

높이가 다른 두 점 A와 B를 잇는 최단강하선 즉 물체를 가장 빨리 내려오게 하는 선이 무엇인가

 

를 구하라는 것이었습니다. 직선이 답이라면 베르누이는 문제를 내지도 않았을 것입니다. 여러분도 한번 풀어보시겠습니까?

독일의 위대한 철학자, 법률가, 종교가, 외교관이자 수학실력 또한 아주 뛰어났던 '고트프리트 라이프니츠(1646~1716)'가 이 문제의 첫 번째 정답자였습니다. 

하지만 답을 받아야 할 사람으로부터 답장이 오지 않자 베르누이는 정답제출 마감기간을 연장합니다. 사실 그가 이 문제를 낸 것은 누군가를 겨냥한 것이었기 때문입니다.

베르누이의 문제가 그의 손에 도착한 것은 해를 넘긴 후였고, 문제를 보고는 베르누이가 자신을 시험해보고 있다는 것을 단박에 알아차립니다. 영국정부에서 화폐 주조국장을 맡고 있던 그는 아주 바빴지만, 퇴근 후 꼼짝도 하지 않고 앉은자리에서 단 몇 시간 만에 문제를 다 풀어버립니다. 그때까지 짧게는 며칠 길게는 몇 주에 걸쳐  이 문제를 푼 수학자는 단 4명뿐이었지만, 그는 단 하루 만에 이 문제를 푸는 데 성공합니다. 그리고 그 문제의 답안지를 보내는 사람의 이름도 없이 베르누이에게 보냅니다. 

 

사자는 발톱만 보고도 안다

 

 

베르누이는 그 편지를 본 후 이렇게 말했다고 전해지고 있으며, 그 사자는 다름 아닌 아이작 뉴턴(1642~1727)입니다. 베르누이의 문제를 가장 빨리 풀었던 라이프니츠와 뉴턴은 수학사에서 가장 치열한 대결을 하게 됩니다. 이 대결은 베르누이가 낸 문제와 깊은 관련을 맺고 있었습니다.

사이클로이드

최단강하선 실험

베르누이의 문제는 도전자들이 자전거가 달릴 때 나타내는 궤적을 말하는 '사이클로이드'를 알고 있느냐를 묻는 문제였습니다. 자전거 바퀴의 한 지점을 정한 후 바퀴가 굴러갈 때 이 점은 일정한 곡선을 그리게 되고, 이 곡선을 사이클로이드라고 하며 이 곡선을 따라서 공을 굴리게 되면 직선보다 더 빨리 굴러서 내려가는 것을 알 수 있습니다. 가장 빠르게 내려가는 선을 안다는 것은 최솟값을 안다는 의미가 되고 베르누이는 도전자들이 '미적분'을 아는지 시험했던 것이었습니다. 당시 학자들의 관심은 움직이는 세계에 가 있었습니다. 직선보다 더 빠른 선을 알고 있었다는 점으로 봐서 이미 놀라운 성과가 있었다는 것을 짐작할 수 있습니다. 

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