움직이는 것의 순간속도, 미분으로 알아내다(라이프니츠, 아이작 뉴턴)

움직이는 것의 순간속도, 미분으로 알아내다(라이프니츠, 아이작 뉴턴)

라이프니츠, 미분으로 '순간속도'를 알아내다

 

차를 운전할 때 자동차는 매 순간 속도를 달리하며 달리게 됩니다. 그렇다면 어떤 한순간의 속도는 어떻게 구할 수 있을까요? 이 문제에 대해 같은 시기 두 명의 수학자가 답을 찾았습니다. 영국의 아이작 뉴턴과 독일의 라이프니츠입니다. 

독일 하노버에는 하노버대학으로 불리다 2008년부터 고트프리드 빌헬름 라이프니츠 대학(GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ UNIVERSITY)이라는 공식명칭을 사용하는 대학이 위치하고 있습니다. 대학에 특정 인물의 이름을 가져다 쓰는 것은 그 인물에 대한 하나의 존경의 표시라고 할 수 있습니다. 또한 이도시에는 라이프니츠 이름을 딴 연구소가 무려 30개가 넘게 있습니다. 이를 통해 독일에서 그의 명성이 얼마나 큰 지 잘 알 수 있습니다.

라이프니츠 도서관

그중 라이프니츠의 평생이 남겨 있는 곳이 그의 이름이 쓰인 도서관입니다.

라이프니츠의 계산기

라이프니츠도서관에는 그의 유산이 보관되어 있는 방이 있습니다. 이 방안에는 라이프니츠의 유산 중 가장 의미 있는 물건이라고 평가되는 '계산기'가 있습니다. 1694년, 최초로 사칙연산을 했던 계산기로 곱셉, 나눗셈을 하는 사람이 적었던 당시에는 대단히 획기적인 발명품이 이었는데, 부품을 구하기 어려워 완성되기까지 몇십 년이 걸렸다고 알려져 있습니다. 

라이프니츠의 계산기로 곱셈 계산해보기

1234X23을 계산해 봅시다.

라이프니츠의 계산기로 곱셈 계산해보기

먼저 1234를 각 고리를 돌려 맞춥니다. 그런 후 23의 1 단위 3을 세 번 톱니를 돌리고, 뒤쪽에 있는 레버를 십 단위로 올린 후 두 번 돌립니다. 고리 앞쪽으로 동전처럼 생긴 것들의 측면에 답으로 28382가 나옵니다.

 

계산기는 라이프니츠의 유산 중 가장 눈에 띄는 기계지만 더 중요한 것은 그가 남긴 원고들입니다. 라이프니츠는 십만 쪽 이상의 원고들을 남겼는데 만 오천 편 이상이 동시대 학자들과 주고받은 편지입니다. 라이프니츠의 원고는 너무 방대해서 아직도 정리 중에 있다고 합니다. 십오만 쪽에 그의 저작물은 노트와 편지, 메모들 뿐입니다. 수학, 과학, 철학 모두 다 잘했던 그지만, 그 어떤 분야에서도 체계적인 저서는 남기지 않았습니다. 대학자 아이작뉴턴에게 받은 두통의 편지는 라이프니츠가 논문을 작성하기 전에 받았는데, 나중에 일어난 저작권 싸움의 빌미가 됩니다.

 

라이프니츠는 모든 학문을 다 배우고, 그것들을 연결시켰던 학자입니다. 그의 나이 29살에 어떤 천재적인 생각이 떠오른 것은 결코 우연이 아니었습니다. 그것은 움직이는 것에 관한 것 , 즉 '미분'이었습니다. 미분으로 우리는 '순간속도'를 알 수 있습니다.

데카르트의 좌료를 이용한 평균속도

데카르트의 좌표를 이용해 가로축을 거리라 놓고, 세로축을 시간으로 놓습니다. 예를 들어 1시간 만에 60킬로를 이동했다면 시속 60킬로가 되고 이것은 평균속도입니다.  그러나 달리는 내내 속도는 변했습니다. 그렇다면 정확한 가운데 지점인 30킬로를 지나는 순간의 속도는 얼마였을까요? 평균속도는 거리를 시간으로 나눈 것입니다.

데카르트 좌표를 이용한 순간속도

좀 더 정확한 속도를 알려면, 이 간격을 좁히면 되며 이 간격을 좁히면 좁힐수록 더 정확한 속도를 알 수 있습니다.  물론 영원히 그 지점에 닿을 수는 없습니다. 오히려 평균속도가 한없이 가까워지는 어떤 일정한 값을 순간속도로 받아들인 것입니다. 이것이 미분입니다.

그대와 극소, 접선을 만들기 위한 새로운 방법

라이프니츠는 <그대와 극소, 접선을 만들기 위한 새로운 방법>이라는 놀라운 성과를 '학술기호'라는 잡지에 싣습니다. 이것은 일종의 마법이었습니다. 모든 것은 움직이는데, 그때까지 수학은 움직이는 것을 다룬 적이 없었는데 라이프니츠에 이르러 우리는 움직이는 모든 것을 계산할 수 있게 된 것입니다. 흐르는 액체의 깊이, 가격의 순간 변화, 대기압이 어떻게 변하는 지도 알 수 있는 것입니다. 수학은 이때 다시 탄생했다고 볼 수 있습니다. 라이프니츠는 미분법이 새로운 시대를 이끌어갈 것임을 직감했고, 미래에 아주 중요한 개념이 될 것이라고 확신했습니다. 자신의 연구가 인류의 방향을 바꿀 것이라는 기대로 라이프니츠는 부풀어 올랐습니다. 그러나 이미 몇 년 전 그와 똑같은 생각을 한 수학자가 있다는 사실을 알게 됩니다. 라이프니츠는 표절자로 몰리게 됩니다. 

아이작 뉴턴, 타원이 돌 때 순간속도를 알아내기 위해 미분을 사용하다 

아이작 뉴턴

라이프니츠가 미분 관련 논문을 내기 10년 전, 영국의 수학자 아이작 뉴턴 또한 미분을 알고 있었습니다. 이 이론은 뉴턴의 고향인 영국 그랜섬에서 만들어졌습니다.

뉴턴의 생가

뉴턴이 태어나고 자란 이곳 생가에서 '만유인력의 법칙'을 발견했습니다. 뉴턴은 1642년 크리스마스에 태어났는데, 그날은 갈릴레이가 죽은 날이기도 합니다.

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뉴턴의 어린 시절은 행복하지 못했습니다. 뉴턴의 어머니는 그가 태어나던 해 4월에 결혼했는데 뉴턴은 열 달을 다 못 채운 미숙아로 태어났습니다. 뉴턴은 살아난 것 자체가 행운이었지만, 불행하게도 그의 아버지는 뉴턴이 태어나기도 전에 죽었습니다. 뉴턴은 이곳 생가에 할머니와 함께 남겨졌고, 어머니와 새아버지 그리고 이복동생들과는 친해지지 않았는데, 아이러니하게도 이것이 뉴턴을 생각하기 좋아하는 아이로 만들었습니다. 이 시절 뉴턴의 친구는 몽상과 눈에 보이지 않는 것들이었습니다. 

 

어린 시절 그에게 영감을 주는 것들은 아주 많았는데 그중에 가장 큰 영감을 준 것은 바로 '빛'이었습니다. 눈으로 빛이 어떻게 들어오는지 실험해 보았습니다. 가능한 한 눈의 뒤쪽 깊이 까지 펜 끝을 들이대며 빛이 어떻게 보이는지 관찰했습니다. 눈이 멀지도 모르는 위험 같은 것은 생각하는 타입의 성격이 아니었습니다.

뉴턴의 사과나무

뉴턴의 생가 옆에는 그만큼 유명한 사과나무 한그루가 있습니다. 엘리자베스 여왕의 즉위 50년을 기념해 나무위원회가 영국의 가장 유명한 나무 중 하나로 선정했습니다. 정말 소문처럼 그 위대한 발견이 이 사과나무 아래에서 있었을까요? 어쨌건 뉴턴은 이곳에서 친구들과 떨어져서 사색을 즐겼습니다. 물론 책 속에도 가르침이 있었지만 미래에 과학자가 될 이 아이는 모든 주변 현상에 관심을 가졌습니다. 떨어지는 사과, 그것은 끊임없이 움직이는 물체였습니다.

 

사과는 직선으로 떨어지지만 행성은 타원으로 도는데 케플러가 밝혀냈습니다. 타원으로 돌 때 행성은 늘 같은 속도로 움직이지 않고 어떤 때는 빠르고 어떤 때는 느립니다. 타원이 돌 때 순간의 속도, 이것을 알아내기 위해 뉴턴은 미분을 사용합니다. 뉴턴의 용어로는 '유율'인데, 1665년 그는 속도의 변화를 유율이라 정합니다. 라이프니츠보다 10년이 빨랐던 셈입니다.

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